حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{x}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d x}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d x}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2}$

خطوة 1.1.1.2

اطرح $x y$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y$

خطوة 1.1.1.3

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ على $- y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ على $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} \frac{d x}{d y}}{- y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d x}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x y}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.4

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 1$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{x}{y}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = V^{2} + V + 1$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ في $V = \frac{x}{y}$ .

$x = V y$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $x = V y$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d x}{d y}$ التي تساوي $y \frac{d V}{d y} + V$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = V^{2} + V + 1$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + V + 1 - V$

خطوة 6.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V^{2} + V + 1 - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 0 + 1$

خطوة 6.1.1.1.2.2

أضف $V^{2}$ و $0$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم كل حد في $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ على $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

خطوة 6.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2} + 1}{y}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

خطوة 6.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

خطوة 6.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{y} d y$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أعِد ترتيب $V^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 6.2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| y |) + C$

خطوة 6.3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $V$ من داخل قوس الظل.

$V = \tan (\ln (| y |) + C)$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \tan (\ln (| y |) + C) y$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\tan (\ln (| y |) + C) y$ .

$x = y \tan (\ln (| y |) + C)$