حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $(1 + x^{2}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 + x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

خطوة 1.6

أضف $0$ و $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

خطوة 1.7

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

خطوة 1.8

أعِد ترتيب $1$ و $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

خطوة 1.9

احذِف الأقواس.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

خطوة 1.10

انقُل $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 5.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.4.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.4.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.4.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.4.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.4.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.4.2.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ على $1 + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ على $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$