حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{9 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{9 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $9 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 9}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 9}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{9}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{x}{9} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{x}{9} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{9} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $9$ في $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{18} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{18} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{18}$ و $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{18} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{18} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (9)} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 9} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $2 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K \cdot \frac{9}{9}}$

خطوة 3.4.2

اجمع $2 K$ و $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + \frac{2 K \cdot 9}{9}}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K \cdot 9}{9}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $9$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 18 K}{9}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\frac{x^{2} + 18 K}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} (x^{2} + 18 K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $x^{2} + 18 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{9}}$

خطوة 3.4.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 3.4.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (x^{2} + 18 K)}$

خطوة 3.4.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x^{2} + 18 K}$

خطوة 3.4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{x^{2} + 18 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{3}$