حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = - 2 x^{3}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 x d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int x d x}$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x^{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

خطوة 2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x^{2}} y = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$e^{x^{2}} y = - 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

خطوة 6.3.2

اجمع $\frac{u}{2}$ و $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{x^{2}} y = - 2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{- 2}{2} \int u e^{u} d u$

خطوة 6.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int u e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int u e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int u e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{x^{2}} y = \frac{- 1}{1} \int u e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$e^{x^{2}} y = - \int u e^{u} d u$

خطوة 6.6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

خطوة 6.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - (e^{u} + C))$

خطوة 6.8

بسّط.

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - e^{u}) + C$

خطوة 6.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

خطوة 6.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}}) - - e^{x^{2}} + C$

خطوة 6.10.2

اضرب $- - e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + 1 e^{x^{2}} + C$

خطوة 6.10.2.2

اضرب $e^{x^{2}}$ في $1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ على $e^{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ على $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2

اقسِم $- x^{2}$ على $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - x^{2} + 1 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$