حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int x d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.5

اقسِم $\frac{1}{2} x$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

خطوة 7

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ .

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

خطوة 8.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 2$

خطوة 8.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

خطوة 8.3.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 8.3.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 8.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 8.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$C = \frac{4 - 1}{2}$

خطوة 8.3.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$C = \frac{3}{2}$

خطوة 9

عوّض بـ $\frac{3}{2}$ عن $C$ في $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 9.2.2

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$