حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d w}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x) + 2)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x) + 2 (1))}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x + 1))}{x^{2}}$

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} \cdot 2 (2 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{w}$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w} (2 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d w}{d x} = 2 \sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (2 \sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{w}}$ في $\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{w}} \cdot \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}) (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{w}}$ في $\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w} \sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.2

ارفع $\sqrt{w}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.3

ارفع $\sqrt{w}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1 + 1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{w}}^{2}$ بالصيغة $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{w}$ في صورة $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{(w^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.3.6.5

بسّط.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.4

اجمع $2$ و $\frac{\sqrt{w}}{w}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w}}{w} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.5

اجمع $\sqrt{w}$ و $\frac{2 x + 1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w}}{w} \cdot \frac{\sqrt{w} (2 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.4.6

اجمع.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w} (\sqrt{w} (2 x + 1))}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

ارفع $\sqrt{w}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}) (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.7.2

ارفع $\sqrt{w}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}) (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {\sqrt{w}}^{1 + 1} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.7.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {\sqrt{w}}^{2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.8

أعِد كتابة ${\sqrt{w}}^{2}$ بالصيغة $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{w}$ في صورة $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.8.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.8.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{2}{2}} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{2}{2}} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.8.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{1} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.8.5

بسّط.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.9

ألغِ العامل المشترك لـ $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w (2 x + 1)}{w x^{2}}$

خطوة 1.4.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{w}$ في صورة $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2

انقُل $w^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $w^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $w$ هو $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3

اضرب $(2 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

انقُل $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.4.1.2

اضرب $x^{- 2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.4.1.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\int 2 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

خطوة 2.3.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

خطوة 2.3.7

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x)$

خطوة 2.3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$ على $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $w^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2

اقسِم $2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}$ على $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.2

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$w^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$w^{1} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.4.1.1.2

بسّط.

$w = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$w = {(\ln (x^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$w = {(\ln (x^{2}) - \frac{1}{x} + C)}^{2}$