حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8)$ , $y (\ln (2)) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 \int e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{3 t} - 8$ . إذن $d u_{2} = 3 e^{3 t} d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = e^{3 t} d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{3 t} - 8$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{3 t} - 8$ .

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 8]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{3 t} - 8$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 8]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

خطوة 2.3.2.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

خطوة 2.3.2.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 t$ .

$e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 8]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 8]$

خطوة 2.3.2.1.3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 8]$

خطوة 2.3.2.1.3.5

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 t}$ .

$3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 8]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$3 e^{3 t} + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $3 e^{3 t}$ و $0$ .

$3 e^{3 t}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

اجمع $\sin (u_{2})$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.6

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{3 t} - 8$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{3 t} - 8) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $\ln (2)$ عن $t$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$ .

$0 = - \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K = 0$ .

$- \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

بسّط $3 \ln (2)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$- \cos (e^{\ln (2^{3})} - 8) + K = 0$

خطوة 4.2.1.1.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$- \cos (2^{3} - 8) + K = 0$

خطوة 4.2.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \cos (8 - 8) + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

اطرح $8$ من $8$ .

$- \cos (0) + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + K = 0$

خطوة 4.3

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 1$

خطوة 5

عوّض بـ $1$ عن $K$ في $y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1$ .

$y = - \cos (e^{3 t} - 8) + 1$