حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 14$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $28$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $28$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 28 \int t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 7 t^{2} - 5$ . إذن $d u = 14 t d t$ ، لذا $\frac{1}{14} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 7 t^{2} - 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $7 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2} - 5]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 t^{2} - 5$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $7 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $2$ في $7$ .

$14 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$14 t + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $14 t$ و $0$ .

$14 t$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$s + C_{1} = 28 \int u^{3} \frac{1}{14} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{14}$ .

$s + C_{1} = 28 \int \frac{u^{3}}{14} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{14}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{14}$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 28 (\frac{1}{14} \int u^{3} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{14}$ و $28$ .

$s + C_{1} = \frac{28}{14} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $28$ و $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $14$ من $28$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $14$ من $14$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 (1)} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 \cdot 1} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $t$ وبـ $14$ عن $s$ في $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ .

$14 = \frac{1}{2} {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 14$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 14$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1 - 5)}^{4} + K = 14$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 - 5)}^{4} + K = 14$

خطوة 4.2.2

اطرح $5$ من $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

خطوة 4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

خطوة 4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$2^{3} + K = 14$

خطوة 4.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 + K = 14$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$K = 14 - 8$

خطوة 4.3.2

اطرح $8$ من $14$ .

$K = 6$

خطوة 5

عوّض بـ $6$ عن $K$ في $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $6$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + 6$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$s = \frac{1}{2} ({(7 t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (7^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.2

ارفع $7$ إلى القوة $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.3

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{2 \cdot 4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.4

طبّق قاعدة الضرب على $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (7^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.5

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.6

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{6}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.7

اضرب $343$ في $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 1372 t^{6} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.8

اضرب $- 5$ في $1372$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.9

طبّق قاعدة الضرب على $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (7^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.10

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.11

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.11.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{2 \cdot 2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{4}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.12

اضرب $49$ في $6$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.13

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} \cdot 25 + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.14

اضرب $25$ في $294$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.15

اضرب $7$ في $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.16

ارفع $- 5$ إلى القوة $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} \cdot - 125 + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.17

اضرب $- 125$ في $28$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + {(- 5)}^{4}) + 6$

خطوة 5.2.2.18

ارفع $- 5$ إلى القوة $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + 625) + 6$

خطوة 5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اضرب $\frac{1}{2} (2401 t^{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

اجمع $2401$ و $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{2401}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.1.2

اجمع $\frac{2401}{2}$ و $t^{8}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6860 t^{6}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $7350 t^{4}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 3500 t^{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

خطوة 5.2.4.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + 6$

خطوة 5.3

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.4

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 + 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $6$ في $2$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 + 12}{2}$

خطوة 5.6.2

أضف $625$ و $12$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{637}{2}$