حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

خطوة 1

اطرح $5 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 5 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- 5 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 5 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- 5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $e^{- 5 x}$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

خطوة 7.2.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

خطوة 7.3

بما أن $- \frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

خطوة 7.4.2

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = - 5 x$ . إذن $d u = - 5 d x$ ، لذا $- \frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = - 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 5$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

خطوة 7.6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 7.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

خطوة 7.8

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

خطوة 7.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

خطوة 7.9.2

اضرب $5$ في $5$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

خطوة 7.10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

خطوة 7.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

أعِد كتابة $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

خطوة 7.11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

خطوة 7.11.2.2

اجمع $e^{- 5 x}$ و $\frac{x}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

خطوة 7.12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 5 x$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

خطوة 7.13

اجمع $e^{- 5 x}$ و $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

خطوة 7.14

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $e^{- 5 x}$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

خطوة 8.1.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

خطوة 8.1.3

اجمع $e^{- 5 x}$ و $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

خطوة 8.2

اقسِم كل حد في $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ على $e^{- 5 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم كل حد في $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ على $e^{- 5 x}$ .

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.3.1.2

اضرب $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ في $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ .

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.3.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.3.1.5

اضرب $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ في $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 8.2.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ .

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ .

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

خطوة 10.2

بسّط $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اقسِم $0$ على $5$ .

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

خطوة 10.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

خطوة 10.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

اضرب $- 5$ في $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

خطوة 10.2.2.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

خطوة 10.2.2.3

اقسِم $C$ على $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

خطوة 10.2.3

اطرح $\frac{1}{25}$ من $0$ .

$- \frac{1}{25} + C = 3$

خطوة 10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أضف $\frac{1}{25}$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 3 + \frac{1}{25}$

خطوة 10.3.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{25}{25}$ .

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

خطوة 10.3.3

اجمع $3$ و $\frac{25}{25}$ .

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

خطوة 10.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

خطوة 10.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.5.1

اضرب $3$ في $25$ .

$C = \frac{75 + 1}{25}$

خطوة 10.3.5.2

أضف $75$ و $1$ .

$C = \frac{76}{25}$

خطوة 11

عوّض بـ $\frac{76}{25}$ عن $C$ في $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{76}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

خطوة 11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

خطوة 11.2.2

اجمع.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

خطوة 11.2.3

اضرب $76$ في $1$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$