حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $1 + 2 y$ .

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

بسّط.

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.5.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{2} + y = x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

خطوة 3.1.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

خطوة 3.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 1$ و $c = - x^{2} - K$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

خطوة 3.5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$