حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 8 x$ ; , $y (3) = 11$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (6 x^{2} + 8 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 6 x^{2} + 8 x d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + 8 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int 8 x d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 8 x d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 8 \int x d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.3

اجمع $8$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{8}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{4}{1} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 4 x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $3$ عن $x$ وبـ $11$ عن $y$ في $y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$ .

$11 = 2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$ .

$2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

خطوة 4.2

بسّط $2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot 27 + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $27$ .

$54 + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$54 + 4 \cdot 9 + K = 11$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $4$ في $9$ .

$54 + 36 + K = 11$

خطوة 4.2.2

أضف $54$ و $36$ .

$90 + K = 11$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $90$ من كلا المتعادلين.

$K = 11 - 90$

خطوة 4.3.2

اطرح $90$ من $11$ .

$K = - 79$

خطوة 5

عوّض بـ $- 79$ عن $K$ في $y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 79$ .

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 79$