حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x) d x + e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)]$

خطوة 1.2

بما أن $2 e^{2 x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = x^{2} - y + x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \frac{d}{d y} [x^{2} - y + x] + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - y + x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.7

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + 0) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.1

أضف $- 1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \cdot - 1 + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.8.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- 1 \cdot y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.8.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \cdot 1)$

خطوة 1.4.10

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.10.1

اضرب $x^{2} - y + x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + x^{2} - y + x)$

خطوة 1.4.10.2

اطرح $y$ من $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (x^{2} - 2 y + x)$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} (- 2 y) + 2 e^{2 x} x$

خطوة 1.5.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} - 2 y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{2 x}$ و $g (x) = x^{2} - 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 y] + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + 0) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 2.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 2.5.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $(x^{2} - 2 y) e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 \cdot ((x^{2} - 2 y) e^{2 x})$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (2 x^{2} + 2 (- 2 y)) e^{2 x}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 (- 2 y) e^{2 x}$

خطوة 2.6.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

خطوة 2.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$

خطوة 2.6.5

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $e^{2 x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $e^{2 x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = e^{2 x} \int x^{2} - 2 y d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = e^{2 x} (\int x^{2} d y + \int - 2 y d y)$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C + \int - 2 y d y)$

خطوة 5.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 \int y d y)$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{2 x}$ و $g (x) = x^{2} y - y^{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} y - y^{2}] + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x} (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.5

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.9

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$e^{2 x} (2 \cdot y x + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.10

أضف $2 y x$ و $0$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.11

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.12

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.3.13

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} y - y^{2}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{2 x} (2 y x) + (2 (x^{2} y) + 2 (- y^{2})) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y) e^{2 x} + 2 (- y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.5.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 8.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

خطوة 9.1.2

بسّط $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y e^{2 x} (- y) + 2 y e^{2 x} x$

خطوة 9.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1

انقُل $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 (y \cdot y) e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

خطوة 9.1.2.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y^{2} e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

خطوة 9.1.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$

خطوة 9.1.2.4

أعِد ترتيب العوامل في $2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x}$

خطوة 9.1.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اطرح $2 x y e^{2 x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.2

اطرح $2 x^{2} y e^{2 x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.3

أضف $2 y^{2} e^{2 x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.4.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 y x e^{2 x}$ و $- 2 x y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} x y - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.4.2

اطرح $2 e^{2 x} x y$ من $2 e^{2 x} x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.4.3

أضف $2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.4.4

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 y x^{2} e^{2 x}$ و $- 2 x^{2} y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 y^{2} e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.4.5

اطرح $2 e^{2 x} x^{2} y$ من $2 e^{2 x} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 + 2 y^{2} e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.4.6

أضف $- 2 y^{2} e^{2 x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

خطوة 9.1.3.4.7

أضف $- 2 y^{2} e^{2 x}$ و $2 y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 10.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 10.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) + e^{2 x} (- y^{2}) + C$

خطوة 12.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y e^{2 x} - y^{2} e^{2 x} + C$