حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

خطوة 1.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

خطوة 1.4.2

اقسِم $2 y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

خطوة 1.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

خطوة 1.5.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

خطوة 1.5.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

خطوة 1.5.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

خطوة 7.2.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

خطوة 7.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

خطوة 7.4

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 7.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 7.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

خطوة 7.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 7.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

خطوة 7.9

أعِد كتابة $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

خطوة 7.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ على $e^{2 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ على $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $\frac{1}{2} x$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $- \frac{1}{4}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2

اطرح $\frac{1}{4}$ من $\frac{1}{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أعِد ترتيب $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.2

لكتابة $x \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.3

اجمع $x \frac{1}{2}$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.4

لكتابة $\frac{2 x - 1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.5

لكتابة $\frac{C}{e^{2 x}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 8.3.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4 e^{2 x}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.6.1

اضرب $\frac{2 x - 1}{4}$ في $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 8.3.6.2

اضرب $\frac{C}{e^{2 x}}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

خطوة 8.3.6.3

أعِد ترتيب عوامل $e^{2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

خطوة 8.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

خطوة 8.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

خطوة 8.3.8.2

أعِد كتابة $- 1 e^{2 x}$ بالصيغة $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

خطوة 8.3.8.3

انقُل $4$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$