حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $- (3 y + 7)$ .

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.6

طبّق قاعدة الثابت.

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.7.2

بسّط.

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2.8

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

خطوة 3.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

خطوة 3.2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

خطوة 3.2.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

خطوة 3.2.3

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

خطوة 3.3

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $2$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3 y^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 7$ في $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

خطوة 3.3.3

انقُل $- 14 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

خطوة 3.3.4

انقُل $2 x$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب $- 3 y^{2}$ و $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

خطوة 3.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a = - 3$ و $b = - 14$ و $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

ارفع $- 14$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.2

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.4.1

اضرب $- 2$ في $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.4.2

اضرب $- 2$ في $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.4.3

اضرب $2$ في $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.5

أخرِج العامل $4$ من $196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $- 24 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.5.3

أخرِج العامل $4$ من $- 24 K$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.5.4

أخرِج العامل $4$ من $24 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.5.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.5.6

أخرِج العامل $4$ من $4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.5.7

أخرِج العامل $4$ من $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.6

أعِد كتابة $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ بالصيغة $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.6.2

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.1.8

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

خطوة 3.6.3

بسّط $\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

خطوة 3.6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

خطوة 3.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$