حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $r^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(r^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $r^{- 2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $- r^{- 1} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{θ}$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$r, 1, 1$

خطوة 3.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$r$

خطوة 3.2

اضرب كل حد في $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ في $r$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ في $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{r}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

خطوة 3.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| θ |) r + C r$ .

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

خطوة 3.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ .

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $r$ من $r \ln (| θ |) + C r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $r$ من $C r$ .

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

خطوة 3.3.2.2

أخرِج العامل $r$ من $r \ln (| θ |) + r C$ .

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ على $\ln (| θ |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ على $\ln (| θ |) + C$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (| θ |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اقسِم $r$ على $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

خطوة 3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

خطوة 4

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $θ$ وبـ $2$ عن $r$ في $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ .

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ .

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

خطوة 5.2

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

خطوة 5.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

خطوة 5.2.3

أضف $0$ و $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

خطوة 5.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$C, 1$

خطوة 5.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$C$

خطوة 5.4

اضرب كل حد في $- \frac{1}{C} = 2$ في $C$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{C} = 2$ في $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{C}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

خطوة 5.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

خطوة 5.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = 2 C$

خطوة 5.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 C = - 1$ .

$2 C = - 1$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $2 C = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 C = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$C = - \frac{1}{2}$

خطوة 6

عوّض بـ $- \frac{1}{2}$ عن $C$ في $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- \frac{1}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

لكتابة $\ln (| θ |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2

اجمع $\ln (| θ |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

خطوة 6.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1.1

أعِد ترتيب $\ln (| θ |)$ و $2$ .

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

خطوة 6.2.4.1.2

بسّط $2 \cdot \ln (| θ |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

خطوة 6.2.4.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| θ |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ في $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$