حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = y + x y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $y + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + x y$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + x y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y x$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + x))$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + x))$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (1 + x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + x d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int x d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$