حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.4

بما أن مشتق $- \cot (t)$ هو $\csc^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (t)$ هو $- \cot (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $\frac{π}{2}$ عن $t$ وبـ $- 7$ عن $v$ في $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ .

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ .

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{π}{2}$ .

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

خطوة 4.2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

خطوة 4.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

خطوة 4.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

خطوة 4.2.1.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$π^{2} - 0 + K = - 7$

خطوة 4.2.1.1.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$π^{2} + 0 + K = - 7$

خطوة 4.2.1.2

أضف $π^{2}$ و $0$ .

$π^{2} + K = - 7$

خطوة 4.3

اطرح $π^{2}$ من كلا المتعادلين.

$K = - 7 - π^{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $- 7 - π^{2}$ عن $K$ في $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 7 - π^{2}$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$