حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اجمع $3$ و $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

خطوة 3.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $K$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

خطوة 3.4.4

انقُل $4$ إلى يسار $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

خطوة 3.4.5

اجمع $3$ و $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

خطوة 3.4.7

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

خطوة 3.4.8

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

خطوة 3.4.8.2

ارفع $\sqrt[3]{4}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

خطوة 3.4.8.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.8.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

خطوة 3.4.8.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ بالصيغة $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{4}$ في صورة $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.8.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.8.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.8.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.8.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

خطوة 3.4.8.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

خطوة 3.4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

خطوة 3.4.9.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

خطوة 3.4.9.3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.3.1

أخرِج العامل $8$ من $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

خطوة 3.4.9.3.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

خطوة 3.4.9.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

خطوة 3.4.9.5

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.5.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

خطوة 3.4.9.5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

خطوة 3.4.10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.10.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.4.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.4.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $2$ عن $x$ وبـ $\sqrt[3]{15}$ عن $y$ في $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ .

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt[3]{15}$ .

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

خطوة 6.4.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ في صورة ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

خطوة 6.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

بسّط ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

خطوة 6.4.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

خطوة 6.4.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

خطوة 6.4.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

خطوة 6.4.2.2.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1.3.1

اضرب $6$ في $16$ .

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

خطوة 6.4.2.2.1.3.2

بسّط.

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

خطوة 6.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

بسّط ${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt[3]{15}$ .

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

خطوة 6.4.2.3.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

خطوة 6.4.2.3.1.2

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{3}}$ .

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

خطوة 6.4.2.3.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

خطوة 6.4.2.3.1.2.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

خطوة 6.4.2.3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

خطوة 6.4.2.3.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

خطوة 6.4.2.3.1.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

خطوة 6.4.2.3.1.3

اضرب $8$ في $15$ .

$96 + 6 K = 120$

خطوة 6.4.3

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1.1

اطرح $96$ من كلا المتعادلين.

$6 K = 120 - 96$

خطوة 6.4.3.1.2

اطرح $96$ من $120$ .

$6 K = 24$

خطوة 6.4.3.2

اقسِم كل حد في $6 K = 24$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1

اقسِم كل حد في $6 K = 24$ على $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

خطوة 6.4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

خطوة 6.4.3.2.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{24}{6}$

خطوة 6.4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.3.1

اقسِم $24$ على $6$ .

$K = 4$

خطوة 7

عوّض بـ $4$ عن $K$ في $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $4$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$