حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d y}{d x}$ . إذن $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $\frac{d v}{d x}$ عن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

خطوة 2

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

خطوة 2.4

عوّض بقيمة $v'$ التي تساوي $\frac{d v}{d x}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب $v$ و $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

خطوة 2.6

اضرب $v$ في $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x v = \int 0 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

خطوة 6.2

أضف $0$ و $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $x v = C_{1}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $x v = C_{1}$ على $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

خطوة 9

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

خطوة 10

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

خطوة 10.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

خطوة 10.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

بما أن $C_{1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $C_{1}$ خارج التكامل.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 10.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

خطوة 10.3.3

بسّط.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 10.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = C \ln (| x |) + D$