حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

خطوة 1

اطرح $x^{2} \sin (x) d x$ من كلا المتعادلين.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x}$ إلى بسط الكسر.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} \sin (x)$ .

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

خطوة 4.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

خطوة 4.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

خطوة 4.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

خطوة 4.3.4.2

اضرب $\int \cos (x) d x$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

خطوة 4.3.5

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

خطوة 4.3.6

أعِد كتابة $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ بالصيغة $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

خطوة 5.2.2.1.1.2

اضرب $- (- x \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

خطوة 5.2.2.1.1.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

خطوة 5.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

خطوة 5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

خطوة 5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

خطوة 5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

خطوة 5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$