حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x y - 3 x^{2} y^{2}) d x + (x^{2} - 2 x^{3} y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - 3 x^{2} y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 3 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} (2 y)$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 6 x^{2} y$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y + 2 x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} - 2 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x^{3} y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y (3 x^{2})$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 6 y x^{2}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y + 2 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 6 x^{2} y + 2 x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 6 x^{2} y + 2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - 3 x^{2} y^{2} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

خطوة 5.2

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

خطوة 5.4

بما أن $- 3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3 y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 5.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 5.7.3

اضرب $y$ في $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 5.7.4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

خطوة 5.7.5

اجمع $- 3$ و $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

خطوة 5.7.6

اجمع $y^{2}$ و $\frac{- 3 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{3} + C$

خطوة 5.7.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.7.1

أخرِج العامل $3$ من $y^{2} (- 3 x^{3})$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3} + C$

خطوة 5.7.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 (1)} + C$

خطوة 5.7.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

خطوة 5.7.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- x^{3})}{1} + C$

خطوة 5.7.7.2.4

اقسِم $y^{2} (- x^{3})$ على $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.3.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بما أن $- x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{2} (- x^{3})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 8.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2}$

خطوة 9.1.2

أضف $2 x^{3} y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

خطوة 9.1.3.2

أضف $- 2 x^{3} y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

خطوة 9.1.3.3

أضف $- 2 x^{3} y$ و $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

خطوة 10.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$g (y) = 0 + C$

خطوة 10.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (y) = C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

خطوة 12

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = y x^{2} - y^{2} x^{3} + C$