حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 2.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 6.1.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 6.1.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 6.2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

خطوة 6.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

خطوة 6.4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

بسّط.

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

خطوة 6.5.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\cos (u)$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

خطوة 6.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

خطوة 6.7

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

اجمع $\cos (3 x)$ و $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3.1.3

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3.1.4

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$