حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

خطوة 2.3.1.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

خطوة 2.3.1.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 4 + x (- x)$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

خطوة 2.3.1.1.1.4

اضرب $x$ في $4 - x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

خطوة 2.3.1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (4 - x)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.5.2

اقسِم $1 - 2 x$ على $1$ .

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.6

أعِد ترتيب $1$ و $- 2 x$ .

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.7.1.2

اقسِم $A (4 - x)$ على $1$ .

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.7.3

انقُل $4$ إلى يسار $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.7.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.1.7.5.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

خطوة 2.3.1.1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.8.1

انقُل $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

خطوة 2.3.1.1.8.2

أعِد ترتيب $B$ و $x$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

خطوة 2.3.1.1.8.3

انقُل $4 A$ .

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

خطوة 2.3.1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 2 = - 1 A + B$

خطوة 2.3.1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = 4 A$

خطوة 2.3.1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

خطوة 2.3.1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = 4 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

خطوة 2.3.1.3.1.2

اقسِم كل حد في $4 A = 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $4 A = 1$ على $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

خطوة 2.3.1.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

خطوة 2.3.1.3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

خطوة 2.3.1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $\frac{1}{4}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $- 2 = - 1 A + B$ بـ $\frac{1}{4}$ .

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.2.2.1

أعِد كتابة $- 1 (\frac{1}{4})$ بالصيغة $- (\frac{1}{4})$ .

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $- 2 = - \frac{1}{4} + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{4} + B = - 2$ .

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.3.2.1

أضف $\frac{1}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.3.2.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.3.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.3.2.5.1

اضرب $- 2$ في $4$ .

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.3.2.5.2

أضف $- 8$ و $1$ .

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

خطوة 2.3.1.5.4

اضرب $\frac{1}{4 - x}$ في $\frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

خطوة 2.3.1.5.5

انقُل $4$ إلى يسار $4 - x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{7}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{7}{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

خطوة 2.3.7

لنفترض أن $u = 4 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

افترض أن $u = 4 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.3.7.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.10.2

اضرب $\frac{7}{4}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

خطوة 2.3.12

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

خطوة 2.3.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 - x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$