حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

خطوة 1

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 3

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

خطوة 5

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

خطوة 5.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + \cos^{2} (V) - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

خطوة 5.1.1.1.2.2

أضف $0$ و $\cos^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

خطوة 5.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

خطوة 5.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

خطوة 5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اجمع.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

خطوة 5.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

خطوة 5.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ إلى $\sec^{2} (V)$ .

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.2

بما أن مشتق $\tan (V)$ هو $\sec^{2} (V)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (V)$ هو $\tan (V)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 5.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

خطوة 5.3

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $V$ من داخل المماس.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$