حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $\frac{w}{25}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة بمعاملات معزولة.

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = \frac{1}{25}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{25} t}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{25}$ و $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{t}{25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{25}$ و $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ و $w$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

خطوة 3.4

اضرب $e^{\frac{t}{25}}$ في $e^{\frac{- 1}{25} t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $e^{\frac{- 1}{25} t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

خطوة 3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

خطوة 3.4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع $t$ و $\frac{1}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

خطوة 3.4.4

أضف $- \frac{t}{25}$ و $\frac{t}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

خطوة 3.5

بسّط $10 e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ على $e^{\frac{t}{25}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ على $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{t}{25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $w$ على $1$ .

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$