حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x + 3$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x + 3 d x$

خطوة 1.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x d x + \int 3 d x$

خطوة 1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x d x + \int 3 d x$

خطوة 1.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + \int 3 d x$

خطوة 1.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

خطوة 1.6.2

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} + 3 x + C_{3}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (2 x^{2} + 3 x + C_{3}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

خطوة 3.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{4} = 2 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

خطوة 3.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 \int x d x + \int C_{3} d x$

خطوة 3.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int C_{3} d x$

خطوة 3.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

خطوة 3.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

خطوة 3.3.7.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

خطوة 3.3.7.2

بسّط.

$y + C_{4} = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

خطوة 3.3.7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{4} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C x + D$