حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 x + 5$ , $y (- 1) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (9 x^{2} - 4 x + 5) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 5 d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 5 d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

$y + C_{1} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $- 1$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ .

$0 = 3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$ .

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 3 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 3 - 2 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 3 - 2 - 5 + K = 0$

خطوة 4.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $2$ من $- 3$ .

$- 5 - 5 + K = 0$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $5$ من $- 5$ .

$- 10 + K = 0$

خطوة 4.3

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 10$

خطوة 5

عوّض بـ $10$ عن $K$ في $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $10$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 10$