حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y - (1 + \sin (x)) d x = 0$

خطوة 1

أضف $(1 + \sin (x)) d x$ إلى كلا المتعادلين.

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y = (1 + \sin (x)) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 6 y - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 6 y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.5

بما أن مشتق $\tan (y)$ هو $\sec^{2} (y)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (y)$ هو $\tan (y)$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\tan (y) + C_{2}) = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

بسّط.

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.2.6.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int d x + \int \sin (x) d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} + \int \sin (x) d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} - \cos (x) + C_{5}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x - \cos (x) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$3 y^{2} - \tan (y) = x - \cos (x) + K$