حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{2 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{x e^{x}}{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x e^{x} d x$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x}) + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اضرب $\frac{1}{2} (x e^{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $e^{x}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{x}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} - \frac{e^{x}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = x e^{x} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{x}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = x e^{x} - e^{x} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$