حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $\frac{y}{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y x^{4} + \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

خطوة 1.2.2

لكتابة $x^{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

خطوة 1.2.4

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

خطوة 1.2.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

خطوة 1.2.4.2

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2.5

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

خطوة 3.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

خطوة 3.4

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

خطوة 3.6.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

خطوة 3.6.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

خطوة 3.6.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

خطوة 3.6.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

خطوة 3.6.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{5}}{5}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$