حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

خطوة 1

لنفترض أن $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . استبدِل $v_{1}$ بجميع حالات حدوث $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v_{1}}{d x}$ بإيجاد مشتقة $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

خطوة 3

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

خطوة 4

لنفترض أن $v_{2} = e^{v_{1}}$ . استبدِل $v_{2}$ بجميع حالات حدوث $e^{v_{1}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

خطوة 5

أوجِد $\frac{d v_{2}}{d x}$ بإيجاد مشتقة $e^{v_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = v_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

خطوة 5.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ بالصيغة $v_{1}'$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

خطوة 6

عوّض بقيمة $e^{v_{1}}$ التي تساوي $v_{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

خطوة 7

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

خطوة 8

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب كلا الطرفين في $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1.1

بسّط $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 v_{2} x$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v_{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2.1.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2.1.1.4.2

أعِد ترتيب $\frac{d v}{d x}$ و $- 2 v_{2} x$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

خطوة 8.1.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.2.1

بسّط $v (2 v x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

خطوة 8.1.2.2.1.2

اضرب $v_{2}$ في $v_{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.2.1.2.1

انقُل $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

خطوة 8.1.2.2.1.2.2

اضرب $v_{2}$ في $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

خطوة 8.1.3

أضف $2 v_{2} x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

خطوة 8.2

أخرِج العامل $2 v_{2} x$ من $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2 v_{2} x$ من $2 {v_{2}}^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

خطوة 8.2.2

أخرِج العامل $2 v_{2} x$ من $2 v_{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

خطوة 8.2.3

أخرِج العامل $2 v_{2} x$ من $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

خطوة 8.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

خطوة 8.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.3.1

أخرِج العامل $v_{2} (v_{2} + 1)$ من $v_{2} x (v_{2} + 1)$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

خطوة 8.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

خطوة 8.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

خطوة 8.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

خطوة 9

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

خطوة 9.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.1

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.2

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $v_{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.5.1.2

اقسِم $A (v_{2} + 1)$ على $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.5.3

اضرب $A$ في $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $v_{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.1.5.4.2

اقسِم $B v_{2}$ على $1$ .

$1 = A v + A + B v$

خطوة 9.2.1.1.6

انقُل $A$ .

$1 = A v + B v + A$

خطوة 9.2.1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $v_{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 9.2.1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $v_{2}$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 9.2.1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

خطوة 9.2.1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

خطوة 9.2.1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

خطوة 9.2.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

خطوة 9.2.1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

خطوة 9.2.1.3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

خطوة 9.2.1.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - 1 A = 1$

خطوة 9.2.1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - 1, A = 1$

خطوة 9.2.1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

خطوة 9.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

خطوة 9.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

خطوة 9.2.3

تكامل $\frac{1}{v_{2}}$ بالنسبة إلى $v_{2}$ هو $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

خطوة 9.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

خطوة 9.2.5

لنفترض أن $u_{3} = v_{2} + 1$ . إذن $d u_{3} = d v_{2}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

افترض أن $u_{3} = v_{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1.1

أوجِد مشتقة $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

خطوة 9.2.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $v_{2} + 1$ بالنسبة إلى $v_{2}$ هو $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

خطوة 9.2.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ هو $n {v_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

خطوة 9.2.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v_{2}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $v_{2}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 9.2.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 9.2.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

خطوة 9.2.6

تكامل $\frac{1}{u_{3}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

خطوة 9.2.7

بسّط.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

خطوة 9.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

خطوة 9.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

خطوة 9.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 9.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 9.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 9.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

خطوة 9.3.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

خطوة 9.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

خطوة 10

أوجِد قيمة $v_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

خطوة 10.2

لإيجاد قيمة $v_{2}$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

خطوة 10.3

أعِد كتابة $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

خطوة 10.4

أوجِد قيمة $v_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

خطوة 10.4.2

اضرب كلا الطرفين في $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

خطوة 10.4.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| u_{3} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

خطوة 10.4.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

خطوة 10.4.4

أوجِد قيمة $v_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ .

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

خطوة 10.4.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

خطوة 11

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة $e^{x^{2} + C}$ بالصيغة $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

خطوة 11.2

أعِد ترتيب $e^{x^{2}}$ و $e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

خطوة 11.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $v_{2}$ بـ $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

خطوة 13.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

وسّع $\ln (e^{v_{1}})$ بنقل $v_{1}$ خارج اللوغاريتم.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

خطوة 13.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

خطوة 13.2.3

اضرب $v_{1}$ في $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

خطوة 13.3

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أعِد كتابة $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ بالصيغة $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

خطوة 13.3.2

أعِد كتابة $\ln (C | u_{3} |)$ بالصيغة $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

خطوة 13.3.3

وسّع $\ln (e^{x^{2}})$ بنقل $x^{2}$ خارج اللوغاريتم.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

خطوة 13.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 13.3.5

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

خطوة 13.4

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $v_{1}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

خطوة 15

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

خطوة 15.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.2.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

خطوة 15.1.2.2

أضف $\ln (C | u_{3} |)$ و $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

خطوة 15.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

خطوة 15.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

خطوة 15.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

خطوة 15.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

خطوة 16

بما أن $y$ يساوي قيمة غير سالبة في الشرط الابتدائي $(0, 0)$ ، انظر فقط $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ لإيجاد $C$ . وعوّض بـ $0$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ .

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

خطوة 17

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ .

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

خطوة 17.2

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

خطوة 17.2.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ في صورة ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 17.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.2.1

بسّط ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 17.2.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 17.2.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

خطوة 17.2.2.2.1.2

بسّط.

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

خطوة 17.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

خطوة 17.2.3

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.1

لإيجاد قيمة $C$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

خطوة 17.2.3.2

أعِد كتابة $\ln (C | u_{3} |) = 0$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{3} |$

خطوة 17.2.3.3

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C | u_{3} | = e^{0}$ .

$C | u_{3} | = e^{0}$

خطوة 17.2.3.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$C | u_{3} | = 1$

خطوة 17.2.3.3.3

اقسِم كل حد في $C | u_{3} | = 1$ على $| u_{3} |$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.3.3.1

اقسِم كل حد في $C | u_{3} | = 1$ على $| u_{3} |$ .

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

خطوة 17.2.3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| u_{3} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

خطوة 17.2.3.3.3.2.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

خطوة 18

عوّض بـ $\frac{1}{| u_{3} |}$ عن $C$ في $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{1}{| u_{3} |}$ .

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

خطوة 18.2

ألغِ العامل المشترك لـ $| u_{3} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

خطوة 18.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

خطوة 18.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$y = \sqrt{0}$

خطوة 18.4

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

خطوة 18.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = 0$