حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition

y (1) = 0

$y (1) = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في

\frac{1}{y^{2} + 1}

$\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ

y^{2} + 1

$y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب

$y^{2}$ و

$1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة

$1$ بالصيغة

$1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

تكامل

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى

$y$ هو

$\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة

$K$ .

$\arctan (y) = x + K$

خطوة 3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج

$y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (x + K)$

خطوة 4

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة

$K$ بالتعويض بـ

$1$ عن

$x$ وبـ

$0$ عن

$y$ في

$y = \tan (x + K)$ .

$0 = \tan (1 + K)$

خطوة 5

أوجِد قيمة

$K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة

$\tan (1 + K) = 0$ .

$\tan (1 + K) = 0$

خطوة 5.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج

$K$ من داخل المماس.

$1 + K = \arctan (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ

$\arctan (0)$ هي

$0$ .

$1 + K = 0$

خطوة 5.4

اطرح

$1$ من كلا المتعادلين.

$K = - 1$

خطوة 5.5

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من

$π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$1 + K = π + 0$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة

$K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أضف

$π$ و

$0$ .

$1 + K = π$

خطوة 5.6.2

اطرح

$1$ من كلا المتعادلين.

$K = π - 1$

خطوة 5.7

أوجِد فترة

$\tan (1 + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 5.7.2

استبدِل

$b$ بـ

$1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 5.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

$0$ و

$1$ تساوي

$1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 5.7.4

اقسِم

$π$ على

$1$ .

$π$

خطوة 5.8

اجمع

$π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اجمع

$π$ مع

$- 1$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 1 + π$

خطوة 5.8.2

اسرِد الزوايا الجديدة.

$K = - 1 + π$

خطوة 5.9

فترة دالة

$\tan (1 + K)$ هي

$π$ ، لذا تتكرر القيم كل

$π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

خطوة 5.10

ادمج

$- 1 + π + π n$ و

$π - 1 + π + π n$ في

$- 1 + π + π n$ .

$K = - 1 + π + π n$

خطوة 6

عوّض بـ

$- 1 + π + π n$ عن

$K$ في

$y = \tan (x + K)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة

$K$ التي تساوي

$- 1 + π + π n$ .

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$