حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

خطوة 1.2

اجمع $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ و $\sqrt{x^{2}}$ في جذر واحد.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.3

قسّم $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم الكسر $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

خطوة 6.1.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

خطوة 6.1.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

خطوة 6.1.1.2.2.2

أضف $0$ و $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

خطوة 6.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

وسّع $(1 + V) (1 - V)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

خطوة 6.2.2.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

خطوة 6.2.2.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

خطوة 6.2.2.1.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

خطوة 6.2.2.1.1.2.1.2

اضرب $- V$ في $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

خطوة 6.2.2.1.1.2.1.3

اضرب $V$ في $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

خطوة 6.2.2.1.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 - V + V - V \cdot V$

خطوة 6.2.2.1.1.2.1.5

اضرب $V$ في $V$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.2.1.5.1

انقُل $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

خطوة 6.2.2.1.1.2.1.5.2

اضرب $V$ في $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.2.2

أضف $- V$ و $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$1 - V^{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.3

أعِد ترتيب $1$ و $- V^{2}$ .

$- V^{2} + 1$

خطوة 6.2.2.1.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

خطوة 6.2.2.1.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 6.2.2.1.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

خطوة 6.2.2.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

خطوة 6.2.2.1.4.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

خطوة 6.2.2.1.4.2.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot 0$ بالصيغة $- 0$ .

$d = - 0$

خطوة 6.2.2.1.4.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$d = 0$

خطوة 6.2.2.1.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 6.2.2.1.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

خطوة 6.2.2.1.5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

خطوة 6.2.2.1.5.2.1.3

اقسِم $0$ على $- 4$ .

$e = 1 - 0$

خطوة 6.2.2.1.5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e = 1 + 0$

خطوة 6.2.2.1.5.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$e = 1$

خطوة 6.2.2.1.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(V + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

لنفترض أن $u = V + 0$ . إذن $d u = d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

افترض أن $u = V + 0$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

خطوة 6.2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $V + 0$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

خطوة 6.2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

خطوة 6.2.2.2.1.4

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.2.2.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.2

أعِد ترتيب $- u^{2}$ و $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

تكامل $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

أضف $V$ و $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

خُذ دالة قوس الجيب العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $V$ من داخل قوس الجيب.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$