حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d t} = 3 e^{t} - 7$ , $x (0) = 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d x = (3 e^{t} - 7) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d x = \int 3 e^{t} - 7 d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C_{1} = \int 3 e^{t} - 7 d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C_{1} = \int 3 e^{t} d t + \int - 7 d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$x + C_{1} = 3 \int e^{t} d t + \int - 7 d t$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 3 (e^{t} + C_{2}) + \int - 7 d t$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C_{1} = 3 (e^{t} + C_{2}) - 7 t + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$x + C_{1} = 3 e^{t} - 7 t + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$x + C_{1} = - 7 t + 3 e^{t} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$x = - 7 t + 3 e^{t} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $1$ عن $x$ في $x = - 7 t + 3 e^{t} + K$ .

$1 = - 7 \cdot 0 + 3 e^{0} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 7 \cdot 0 + 3 e^{0} + K = 1$ .

$- 7 \cdot 0 + 3 e^{0} + K = 1$

خطوة 4.2

بسّط $- 7 \cdot 0 + 3 e^{0} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 7$ في $0$ .

$0 + 3 e^{0} + K = 1$

خطوة 4.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + K = 1$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3 + K = 1$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$3 + K = 1$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$K = 1 - 3$

خطوة 4.3.2

اطرح $3$ من $1$ .

$K = - 2$

خطوة 5

عوّض بـ $- 2$ عن $K$ في $x = - 7 t + 3 e^{t} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 2$ .

$x = - 7 t + 3 e^{t} - 2$