حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y d x + y^{2} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x y d x$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} d y = - x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d y = \frac{1}{y} (- x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- x y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- x y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = \frac{1}{y} (- x y) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y d y = - \frac{1}{y} (x y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$y d y = \frac{- 1}{y} (x y) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y d y = \frac{- 1}{y} (y x) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y d y = \frac{- 1}{y} (y x) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = - x d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - x d x$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

خطوة 5.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 5.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 5.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

خطوة 5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

خطوة 5.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

خطوة 5.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

خطوة 5.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$