حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

خطوة 2.3.2

تكامل $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \cos (t)$ .

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = t - \cos (t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $\frac{π}{3}$ عن $t$ وبـ $\frac{1}{2}$ عن $y$ في $y = t - \cos (t) + K$ .

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{π}{3}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

خطوة 4.3.2

أضف $\frac{1}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

خطوة 4.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

خطوة 4.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

خطوة 4.3.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اقسِم $2$ على $2$ .

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

خطوة 4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$K = 1 - \frac{π}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $1 - \frac{π}{3}$ عن $K$ في $y = t - \cos (t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1 - \frac{π}{3}$ .

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$