حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + y^{2}) d y = x y d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $x y d x$ من كلا المتعادلين.

$(x^{2} + y^{2}) d y - x y d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x y]$

خطوة 2.2

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.4

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

خطوة 3.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x = 2 x$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- x = 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- x$ .

$\frac{2 x - - x}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- x y$ .

$\frac{2 x - - x}{- x y}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x - - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 - - x}{- x y}$

خطوة 5.3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- - x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (- - 1)}{- x y}$

خطوة 5.3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 2 + x (- - 1)$ .

$\frac{x (2 - - 1)}{- x y}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x (2 + 1)}{- x y}$

خطوة 5.3.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{- 1 y}$

خطوة 5.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- x y$ .

$- \frac{3}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

خطوة 6.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 6.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 3 \ln (| y |)$ بنقل $- 3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- x y$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- x y \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- x y$ .

$y (- x) \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{3}$ .

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- x \frac{1}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{1}{y^{2}}$ و $x$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $x^{2} + y^{2}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $x^{2} + y^{2}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d x$

خطوة 9.2

بما أن $\frac{1}{y^{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{y^{2}}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{2}} \int x d x)$

خطوة 9.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

خطوة 9.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 9.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

خطوة 9.5.2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2 y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $- \frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y^{2}}$ بالصيغة ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{- 1}$ و $g (y) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.10

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.11

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.12

اجمع $\frac{2 x^{2}}{2}$ و $y^{- 3}$ .

$\frac{2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.13

انقُل $y^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.14.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

اطرح $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.4

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.5

اطرح $y^{2}$ من $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.1.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

خطوة 13.1.1.6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

خطوة 13.1.1.6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

خطوة 13.1.1.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

خطوة 13.1.2

أضف $\frac{1}{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{1}{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 14.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \ln (| y |) + C$