حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{3}}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = 7 x^{3}$

خطوة 1.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y \cdot 2 d y = 7 x^{3} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y \cdot 2 d y = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\int 2 y d y = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int y d y = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.2.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.2.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.2.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.2.4.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ بالصيغة $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $7$ و $\frac{1}{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{2} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$

خطوة 3.2

بسّط $\pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{7}{4}$ و $x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K}$

خطوة 3.2.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4}}$

خطوة 3.2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اجمع $K$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}}$

خطوة 3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

خطوة 3.2.4

انقُل $4$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}}$

خطوة 3.2.5

أعِد كتابة $\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $7 x^{4} + 4 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{4}}$

خطوة 3.2.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 3.2.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)}$

خطوة 3.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 x^{4} + 4 K}$

خطوة 3.2.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{7 x^{4} + 4 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

خطوة 3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

خطوة 3.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

خطوة 3.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$