حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 (x^{2} + y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 (x^{2} + y^{2})]$

خطوة 1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 (x^{2} + y^{2})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 1.4

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y)$

خطوة 1.7

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + 6 y] + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

بما أن $3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5

بما أن $6 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \cdot 1$

خطوة 2.9

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

خطوة 2.9.2

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $6 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $6 y$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 (x^{2} + y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{- (- 3 x^{2}) + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $3 y^{2}$ .

$\frac{- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2})$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $6 y$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y)$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.7

أعِد كتابة $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ بالصيغة $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.8

أخرِج العامل $3$ من $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ .

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.9

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 4.3.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أضف $- 2 y$ و $2 y$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} + 0)}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

أضف $- x^{2} - y^{2}$ و $0$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x^{2} - y^{2}$ و $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - (y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (x^{2} + y^{2})$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4.3.4.6

اقسِم $- 1 \cdot (- 1)$ على $1$ .

$- 1 \cdot (- 1)$

خطوة 4.3.5

أعِد كتابة $- 1 \cdot (- 1)$ بالصيغة $- (- 1)$ .

$- (- 1)$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$1$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

خطوة 5.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$ في عامل التكامل $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 (x^{2} + y^{2})$ في $e^{y}$ .

$3 (x^{2} + y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} + 3 y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ في $e^{y}$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) e^{y} d y = 0$

خطوة 6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x \cdot x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

خطوة 6.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1} x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

خطوة 6.6.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1 + 2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

خطوة 6.6.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

خطوة 6.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

خطوة 6.6.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + 6 x y) e^{y} d y = 0$

خطوة 6.7

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

خطوة 8.2

بما أن $3 e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3 e^{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

خطوة 8.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

خطوة 8.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

خطوة 8.5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

خطوة 8.6

بسّط.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $e^{y} x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y^{2} e^{y} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}]$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = e^{y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y}) + 3 x (e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x e^{y} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 11.6.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x^{3} e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y}$

خطوة 12.1.2

اطرح $3 y^{2} x e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y}$

خطوة 12.1.3

اطرح $6 x y e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

خطوة 12.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

اطرح $x^{3} e^{y}$ من $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} + 0 - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

خطوة 12.1.4.2

أضف $3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

خطوة 12.1.4.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $3 x y^{2} e^{y}$ و $- 3 y^{2} x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 e^{y} y^{2} x + 6 x y e^{y} - 3 e^{y} y^{2} x - 6 x y e^{y}$

خطوة 12.1.4.4

اطرح $3 e^{y} y^{2} x$ من $3 e^{y} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} + 0 - 6 x y e^{y}$

خطوة 12.1.4.5

أضف $6 x y e^{y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} - 6 x y e^{y}$

خطوة 12.1.4.6

اطرح $6 x y e^{y}$ من $6 x y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

خطوة 13.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$g (y) = 0 + C$

خطوة 13.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (y) = C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$ .

$f (x, y) = x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + C$