حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{2 x} y$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.3.2

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $t e^{2 x}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{4}{y}$ و $t$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $y e^{2 x}$ من $e^{2 x} y$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4 t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4 t$ خارج التكامل.

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

خطوة 3.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 3.2.3

بسّط.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$4 t \ln (| y |) = x + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $4 t \ln (| y |) = x + C$ على $4 t$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اقسِم كل حد في $4 t \ln (| y |) = x + C$ على $4 t$ .

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

خطوة 4.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

خطوة 4.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

خطوة 4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

خطوة 4.1.2.2.2

اقسِم $\ln (| y |)$ على $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

خطوة 4.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

خطوة 4.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ .

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

خطوة 4.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$