حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + y) d x + (1 - x) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(1 + y) d x$ من كلا المتعادلين.

$(1 - x) d y = - (1 + y) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $1 + y$ من $(1 - x) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 1 + y$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 1 + y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 4.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 4.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 1 - x$ . إذن $d u_{2} = - d x$ ، لذا $- d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 1 - x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 4.3.2.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2

اضرب $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - x |}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - x |})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - x |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y |}{| 1 - x |}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 1 + y |}{| 1 - x |} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{| 1 - x |} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| 1 - x |$ .

$\frac{| 1 + y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| 1 - x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 + y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

خطوة 5.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 + y | = e^{C} | 1 - x |$

خطوة 5.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | 1 - x |$ .

$| 1 + y | = | 1 - x | e^{C}$

خطوة 5.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm | 1 - x | e^{C}$

خطوة 5.5.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | 1 - x | e^{C}$ .

$1 + y = \pm e^{C} | 1 - x |$

خطوة 5.5.4.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{C} | 1 - x | - 1$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm C | 1 - x | - 1$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | 1 - x | - 1$