حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 y = 0$

خطوة 1

افترض أن جميع الحلول من صيغة $y = e^{r x}$ .

خطوة 2

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

خطوة 2.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r x} - 9 e^{r x} = 0$

خطوة 2.4

أخرِج عامل $e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 9 e^{r x} = 0$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $- 9 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 9 = 0$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 9$ .

$e^{r x} (r^{2} - 9) = 0$

خطوة 2.5

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r x}$ .

$r^{2} - 9 = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$r^{2} = 9$

خطوة 3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$r = \pm \sqrt{9}$

خطوة 3.3

بسّط $\pm \sqrt{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{3^{2}}$

خطوة 3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$r = \pm 3$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$r = 3$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$r = - 3$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$r = 3, - 3$

خطوة 4

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$y_{1} = e^{3 x}$

$y_{2} = e^{- 3 x}$

خطوة 5

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{- 3 x}$