حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + 2 x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.4

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.5

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

خطوة 1.9

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

اضرب $3 + 2 x y^{2}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

خطوة 1.9.2

أضف $4 x y^{2}$ و $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

خطوة 1.9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

خطوة 2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y^{2} + x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.4

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

خطوة 2.9

أضف $2 y^{2} x + 1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

خطوة 2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

خطوة 2.10.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

خطوة 2.10.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $6 y^{2} x + 3$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $6 y^{2} x + 3$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

خطوة 5.4

بما أن $2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = 3 x + y^{2} x^{2}$ .

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + y^{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.3

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.4

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.8

أضف $0$ و $2 x^{2} y$ .

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.9

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.10

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.12

أضف $1$ و $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.13

اضرب $3 x + y^{2} x^{2}$ في $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.14

أضف $2 x^{2} y^{2}$ و $y^{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.14.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.3.14.2

أضف $2 x^{2} y^{2}$ و $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 9.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

خطوة 9.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

خطوة 9.1.1.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

خطوة 9.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $3 x^{2} y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 9.1.2.2

اطرح $3 x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

خطوة 9.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.3.1

اطرح $3 x^{2} y^{2}$ من $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

خطوة 9.1.2.3.2

أضف $3 x - 3$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

خطوة 9.1.2.3.3

اطرح $3 x$ من $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

خطوة 9.1.2.3.4

اطرح $3$ من $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 3$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 d y$

خطوة 10.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = - 3 y + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

خطوة 12.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

خطوة 12.3

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

انقُل $y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

خطوة 12.3.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

خطوة 12.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

خطوة 12.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$