حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x - y + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.4

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

خطوة 2.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

خطوة 2.6.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$0 = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{1 + 0}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

$\frac{1 + 0}{1}$

خطوة 4.3.2

اقسِم $1 + 0$ على $1$ .

$1 + 0$

خطوة 4.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

$1$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

خطوة 5.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

خطوة 6

اضرب $1$ في $e^{y}$ .

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = e^{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{y} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $e^{y} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 11.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $x e^{y}$ من $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $- y e^{y} + 6 e^{y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y e^{y} + 6 e^{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

خطوة 13.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

خطوة 13.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

خطوة 13.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

خطوة 13.6

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

خطوة 13.7

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

خطوة 13.8

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

خطوة 13.9

بسّط.

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

خطوة 13.10

أضف $e^{y}$ و $6 e^{y}$ .

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$