حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $1 + x^{3}$ من $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

خطوة 2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

خطوة 2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

خطوة 2.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

خطوة 2.4

اجمع $3$ و $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

خطوة 2.5.2

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

خطوة 2.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

خطوة 2.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

خطوة 2.6

اجمع $\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

خطوة 3.3.2

لنفترض أن $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

افترض أن $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

خطوة 3.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 + x$ و $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 3.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 3.3.2.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 3.3.2.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 3.3.2.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 3.3.2.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 3.3.2.1.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 3.3.2.1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 3.3.2.1.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.2.1.3.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.2.1.3.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2.1.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

خطوة 3.3.2.1.3.12

اضرب $1 - x + x^{2}$ في $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.8

أضف $1$ و $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.9

أضف $- x$ و $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.10

أضف $- 1$ و $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.11

أضف $x + 2 x^{2}$ و $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.12

اطرح $x$ من $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.13

أضف $2 x^{2}$ و $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.14

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

خطوة 3.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

خطوة 3.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 3.3.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 3.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.3.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 3.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

خطوة 4.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

خطوة 4.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

خطوة 4.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

خطوة 4.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

خطوة 4.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

خطوة 4.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

خطوة 4.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1

بسّط $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1.1

وسّع $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.2

اضرب $- x$ في $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.6.1

انقُل $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.7

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.7.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.1.7.2

أضف $1$ و $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.2.1.2.2.1

أضف $- x$ و $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.2.2

أضف $1 + x^{2}$ و $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.2.3

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

خطوة 4.5.3.2.1.2.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

خطوة 4.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | 1 + x^{3} |$ .

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

خطوة 4.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

خطوة 5.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | 1 + x^{3} |$