حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$ على $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ و $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $e^{x} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} (x + 1)}{1}$

خطوة 1.3.2.4

اقسِم $e^{x} (x + 1)$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 1}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x + 1} y = e^{x} (x + 1)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 1}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2.3

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.2.3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.3.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$e^{- \ln (| x + 1 |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x + 1)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(x + 1)}^{- 1}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x + 1}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (- \frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} (\frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{1}{x + 1}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{y}{x + 1}$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2.5.2

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2.5.3

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.2.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.3

لكتابة $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(x + 1)}^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.4.2

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.4.3

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.6.2

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

خطوة 3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $e^{x} (x + 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

خطوة 3.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

خطوة 3.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

خطوة 3.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] = e^{x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] d x = \int e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x + 1} y = \int e^{x} d x$

خطوة 7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{x + 1} y = e^{x} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{x + 1}$ و $y$ .

$\frac{y}{x + 1} = e^{x} + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x + 1$ .

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (e^{x} + C) (x + 1)$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(e^{x} + C) (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

وسّع $(e^{x} + C) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = e^{x} (x + 1) + C (x + 1)$

خطوة 8.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C (x + 1)$

خطوة 8.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

خطوة 8.3.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1.1

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C \cdot 1$

خطوة 8.3.2.1.2.1.2

اضرب $C$ في $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C$

خطوة 8.3.2.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x + e^{x} + C x + C$ .

$y = x e^{x} + e^{x} + C x + C$

خطوة 8.3.2.1.2.2.2

انقُل $e^{x}$ .

$y = x e^{x} + C x + C + e^{x}$

خطوة 8.3.2.1.2.2.3

انقُل $x e^{x}$ .

$y = C x + C + x e^{x} + e^{x}$