حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

بسّط $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1.1

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

خطوة 2.1.1.1.1.2

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

خطوة 2.1.1.1.1.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

خطوة 2.1.1.1.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

خطوة 2.1.1.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

خطوة 2.1.2

أضف $2 y \cot (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $y$ من $y + 2 y \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $y$ من $2 y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

خطوة 2.2.4

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

خطوة 2.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

خطوة 2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

خطوة 2.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

خطوة 3.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

خطوة 3.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

خطوة 3.3.4

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

خطوة 3.3.5

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

خطوة 4.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| \sin (x) |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

خطوة 4.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

خطوة 4.2.1.3

اضرب في $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

خطوة 4.2.1.4

افصِل الكسور.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

خطوة 4.2.1.5

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ إلى $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

خطوة 4.2.1.6

اقسِم $| y |$ على $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

خطوة 4.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

خطوة 4.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

خطوة 4.5.2

اقسِم كل حد في $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ على $\csc^{2} (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اقسِم كل حد في $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ على $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 4.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\csc^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 4.5.2.2.1.2

اقسِم $| y |$ على $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 4.5.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 5.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$