حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق قاعدة الضرب على $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.4.3

اضرب $1$ في $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C_{2}$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $3 (- \frac{1}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- \frac{3}{x} + 3 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- \frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

خطوة 3.4.4

اجمع $3$ و $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

خطوة 3.4.6

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 3.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 3.4.7.2

ارفع $\sqrt[3]{x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 3.4.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.7.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

خطوة 3.4.7.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.7.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.7.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.7.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.7.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

خطوة 3.4.7.5.5

بسّط.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

خطوة 3.4.8

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.9

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.10

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

خطوة 4

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

خطوة 5.2

اقسِم $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ على $1$ .

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ في صورة ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

بسّط ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1.1

اضرب الأُسس في ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1 + K \cdot 1$ في $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.1.4

اضرب $K$ في $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.3.2

بسّط.

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- 3 + 3 K = 27$

خطوة 5.3.3

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$3 K = 27 + 3$

خطوة 5.3.3.1.2

أضف $27$ و $3$ .

$3 K = 30$

خطوة 5.3.3.2

اقسِم كل حد في $3 K = 30$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $3 K = 30$ على $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

خطوة 5.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

خطوة 5.3.3.2.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{30}{3}$

خطوة 5.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.3.1

اقسِم $30$ على $3$ .

$K = 10$

خطوة 6

عوّض بـ $10$ عن $K$ في $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $10$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$