حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 3$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d y}{d x}$ . إذن $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $\frac{d v}{d x}$ عن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 3$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 3 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{3 x + C_{1}}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 3$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 3$

خطوة 3.3

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 \cdot e^{3 x}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 3 e^{3 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 3 e^{3 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 3 e^{3 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{3 x} v = \int 3 e^{3 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{3 x} v = 3 \int e^{3 x} d x$

خطوة 7.2

لنفترض أن $u_{1} = 3 x$ . إذن $d u_{1} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

افترض أن $u_{1} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 7.2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 7.3

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

خطوة 7.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{3 x} v = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 x} v = 1 \int e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.5.3

اضرب $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ في $1$ .

$e^{3 x} v = \int e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.6

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} v = e^{u_{1}} + C_{2}$

خطوة 7.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ على $e^{3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ على $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

خطوة 10

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}) d x$

خطوة 11

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

خطوة 11.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{3} = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

خطوة 11.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{3} = \int d x + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

خطوة 11.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

خطوة 11.3.3

بما أن $C_{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $C_{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

خطوة 11.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.4.1

اعكِس علامة أُس $e^{3 x}$ وأخرِجها من القاسم.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

خطوة 11.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.4.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.4.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

خطوة 11.3.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

خطوة 11.3.4.2.2

اضرب $e^{- 3 x}$ في $1$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

خطوة 11.3.5

لنفترض أن $u_{2} = - 3 x$ . إذن $d u_{2} = - 3 d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.1

افترض أن $u_{2} = - 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 11.3.5.1.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

خطوة 11.3.5.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$

خطوة 11.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

خطوة 11.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

خطوة 11.3.6.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

خطوة 11.3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

خطوة 11.3.8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

خطوة 11.3.9

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{5}))$

خطوة 11.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.10.1

بسّط.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} C_{2} e^{u_{2}} + C_{6}$

خطوة 11.3.10.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{u_{2}}}{3} C_{2} + C_{6}$

خطوة 11.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 3 x$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{- 3 x}}{3} C_{2} + C_{6}$

خطوة 11.3.12

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{6}$

خطوة 11.3.13

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + x + C_{6}$

خطوة 11.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + x + D$