حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

خطوة 1.1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

خطوة 1.1.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y}{2 x}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} - \frac{y}{2 x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $f (\frac{y}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج عامل $\frac{x}{y}$ من $\frac{3 x}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $\frac{x}{y}$ من $\frac{3 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 - \frac{y}{2 x}$

خطوة 1.2.1.2

أعِد ترتيب $\frac{x}{y}$ و $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} - \frac{y}{2 x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{2 x}$

خطوة 1.3

أخرِج عامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 1.3.2

أعِد ترتيب $\frac{y}{x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x})$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} - \frac{1}{2} V$

خطوة 6.1.1.1.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{1}{2} V$

خطوة 6.1.1.1.3

اجمع $V$ و $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{V}{2}$

خطوة 6.1.1.2

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2

لكتابة $- V$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.1

اجمع $- V$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- V - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.1

أخرِج العامل $V$ من $- V - V \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $V$ من $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

أخرِج العامل $V$ من $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

أخرِج العامل $V$ من $V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 2)}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.3

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 3}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- 3 \cdot V}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{3 V}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.1

لكتابة $\frac{3}{V}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.2

لكتابة $- \frac{3 V}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $V \cdot 2$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.3.1

اضرب $\frac{3}{V}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.3.2

اضرب $\frac{3 V}{2}$ في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.3.3

أعِد ترتيب عوامل $V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2 V} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2 - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot 2 - 3 V \cdot V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.5.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 V \cdot V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) + 3 (- V \cdot V)}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.5.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (2) + 3 (- V \cdot V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V \cdot V)}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.5.2

اضرب $V$ في $V$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.5.2.1

انقُل $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - (V \cdot V))}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.5.2.2

اضرب $V$ في $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.6

اجمع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

خطوة 6.1.1.3.3.7

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V x}$

خطوة 6.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})}$ .

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} (\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

اجمع.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \cdot \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

خطوة 6.1.4.2

اجمع.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

خطوة 6.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

خطوة 6.1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

خطوة 6.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

خطوة 6.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) (x)}$

خطوة 6.1.4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) (x)}$

خطوة 6.1.4.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2 - V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} \int \frac{V}{2 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

لنفترض أن $u = 2 - V^{2}$ . إذن $d u = - 2 V d V$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

افترض أن $u = 2 - V^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 - V^{2}]$

خطوة 6.2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - V^{2}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

خطوة 6.2.2.2.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

خطوة 6.2.2.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، إذن مشتق $- V^{2}$ بالنسبة إلى $V$ يساوي $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

خطوة 6.2.2.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

خطوة 6.2.2.2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 V$

خطوة 6.2.2.2.1.4

اطرح $2 V$ من $0$ .

$- 2 V$

خطوة 6.2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.8

بسّط.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - V^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| 2 - V^{2} |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}$ إلى بسط الكسر.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| 2 - V^{2} |)$ في $1$ .

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

خطوة 6.3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

خطوة 6.3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

بسّط $\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1.1

بسّط $3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

خطوة 6.3.4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

خطوة 6.3.5

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

خطوة 6.3.6

أعِد كتابة $\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 2 - V^{2} | {| x |}^{3}$

خطوة 6.3.7

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

خطوة 6.3.7.2

اقسِم كل حد في $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ على ${| x |}^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.2.1

اقسِم كل حد في $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ على ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 6.3.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 6.3.7.2.2.1.2

اقسِم $| 2 - V^{2} |$ على $1$ .

$| 2 - V^{2} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 6.3.7.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$2 - V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 6.3.7.4

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$

خطوة 6.3.7.5

اقسِم كل حد في $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.5.1

اقسِم كل حد في $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.7.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.7.5.2.2

اقسِم $V^{2}$ على $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.7.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.7.5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ بالصيغة $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.7.5.3.1.3

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2$

خطوة 6.3.7.6

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2}$

خطوة 6.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 2}$

خطوة 6.4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$V = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

بسّط $(\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

اجمع $C$ و $\frac{1}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + 2}) x$

خطوة 8.2.2.1.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + \frac{2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

خطوة 8.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = (\pm \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

خطوة 8.2.2.1.4

أعِد كتابة $\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.4.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $- C + 2 {| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{3}}}) x$

خطوة 8.2.2.1.4.2

أخرِج عامل القوة الكاملة ${| x |}^{2}$ من ${| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}}) x$

خطوة 8.2.2.1.4.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

خطوة 8.2.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

خطوة 8.2.2.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}) x$

خطوة 8.2.2.1.7

اجمع.

$y = (\pm \frac{1 \sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

خطوة 8.2.2.1.8

اضرب $\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}$ في $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

خطوة 8.2.2.1.9

اضرب $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ في $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.10.1

اضرب $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ في $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.2

انقُل $\sqrt{| x |}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.3

ارفع $\sqrt{| x |}$ إلى القوة $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.4

ارفع $\sqrt{| x |}$ إلى القوة $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.6

أضف $1$ و $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.7

أعِد كتابة ${\sqrt{| x |}}^{2}$ بالصيغة $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.10.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{| x |}$ في صورة ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.10.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}) x$

خطوة 8.2.2.1.10.7.5

بسّط.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}) x$

خطوة 8.2.2.1.11

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x | | x |}) x$

خطوة 8.2.2.1.12

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x \cdot x |}) x$

خطوة 8.2.2.1.13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.13.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x^{2} |}) x$

خطوة 8.2.2.1.13.2

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$

خطوة 8.2.2.1.14

أعِد ترتيب العوامل في $(\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{| x | (- C + 2 {| x |}^{3})}}{x^{2}}) x$